Анализ 2
Это продолжение Анализа 1.
5. Последовательности
5.1. Определение бесконечной числовой последовательности
Бесконечная числовая последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел.
5.2. Типы последовательностей
Возрастающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего.
Убывающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего.
Неубывающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член не меньше предыдущего.
Невозрастающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член не больше предыдущего.
Монотонная последовательность — это последовательность, которая либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает.
Ещё очень важно знать про ограниченные последовательности.
Ограниченная сверху последовательность — это последовательность, в которой все члены не превосходят некоторого числа.
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность, в которой все члены не меньше некоторого числа.
Ограниченная последовательность — это последовательность, в которой все члены по модулю не превосходят некоторого числа.
5.3. Определение предела последовательности
Предел последовательности — это число, к которому стремится последовательность, если устремить её аргумент к бесконечности.
5.4. Эпсилон-окрестность
Эпсилон-окрестность — это симметричный интервал вокруг точки A с радиусом ε.
Ещё существует проколотая эпсилон-окрестность - это эпсилон-окрестность без самой точки A.
6. Свойства сходящихся
6.0. Определение сходящейся последовательности
Сходящаяся последовательность — это последовательность, которая имеет предел.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, которая не имеет предела.
6.1. Определение ограниченной последовательности
Ограниченная последовательность — это последовательность, которая ограничена сверху или снизу так, что все её значения не превосходят некоторого числа.
Однако я так понимаю, определение ограниченной последовательности следует понимать по другому:
6.2. Предел существует только один
Если у последовательности и существует предел, то он единственный.
Доказательство
6.3. Положительный предел
Если последовательность сходится (имеет предел) к положительному числу, то начиная с некоторого номера все её значения будут больше нуля.
Доказательство
7. Сходящаяся ограничена
Для всяких последовательностей, которые сходятся, справедливо то, что они ограничены.
Доказательство
8. Теорема о милиционерах
Ещё эту теорему называют теоремой о зажатой последовательности.
Формулировка
Если последовательность зажата сверху и снизу сходящимися последовательностями, то она сходится к тому же пределу.
Доказательство
9. Арифметические действия с пределами
Все эти действия с пределами можно делать только в том случае, если пределы существуют. Иногда бывает так, что одного из пределов не существует, но сумма/разность/... существуют.
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
10. Теорема Вейерштрасса
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится (имеет предел).
Доказательство
11. Базовые пределы
Их всего 5, но они очень важны.
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
12. Число эйлера и его свойства
Само число Эйлера обозначается как e.
Оно равно пределу последовательности, которое доказывается через теорему Вейерштрасса.
Определение числа `e`
Ниже перечислены основные свойства числа e. (которые мы успели пройти)
Доказательство
Докажем, что эта последовательность ограничена сверху.
Затем очевидно, что эта последовательность возрастает, так как каждый следующий член больше предыдущего.
По теореме Вейерштрасса, так как эта последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится.
13. Продолжение...
Читайте дальше в следующей части.