Анализ 2
Last modified: 12 January 2024Это продолжение Анализа 1.
5. Последовательности
5.1. Определение бесконечной числовой последовательности
Бесконечная числовая последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел.
5.2. Типы последовательностей
Возрастающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего.
Убывающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего.
Неубывающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член не меньше предыдущего.
Невозрастающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член не больше предыдущего.
Монотонная последовательность — это последовательность, которая либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает.
Ещё очень важно знать про ограниченные последовательности.
Ограниченная сверху последовательность — это последовательность, в которой все члены не превосходят некоторого числа.
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность, в которой все члены не меньше некоторого числа.
Ограниченная последовательность — это последовательность, в которой все члены по модулю не превосходят некоторого числа.
5.3. Определение предела последовательности
Предел последовательности — это число, к которому стремится последовательность, если устремить её аргумент к бесконечности.
note
Начиная с некоторого номера, все точки (значения) попадают в эпсилон-окрестность точки `A`.
5.4. Эпсилон-окрестность
Эпсилон-окрестность — это симметричный интервал вокруг точки A с радиусом ε.
Ещё существует проколотая эпсилон-окрестность - это эпсилон-окрестность без самой точки A.
6. Свойства сходящихся
6.0. Определение сходящейся последовательности
Сходящаяся последовательность — это последовательность, которая имеет предел.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, которая не имеет предела.
6.1. Определение ограниченной последовательности
Ограниченная последовательность — это последовательность, которая ограничена сверху или снизу так, что все её значения не превосходят некоторого числа.
Однако я так понимаю, определение ограниченной последовательности следует понимать по другому:
6.2. Предел существует только один
Если у последовательности и существует предел, то он единственный.
6.3. Положительный предел
Если последовательность сходится (имеет предел) к положительному числу, то начиная с некоторого номера все её значения будут больше нуля.
7. Сходящаяся ограничена
Для всяких последовательностей, которые сходятся, справедливо то, что они ограничены.
note
Не все ограниченные последовательности сходятся.
Например, последовательность
a_n=(-1)^nограничена, но не сходится.
8. Теорема о милиционерах
Ещё эту теорему называют теоремой о зажатой последовательности.
Формулировка
Если последовательность зажата сверху и снизу сходящимися последовательностями, то она сходится к тому же пределу.
9. Арифметические действия с пределами
Все эти действия с пределами можно делать только в том случае, если пределы существуют. Иногда бывает так, что одного из пределов не существует, но сумма/разность/... существуют.
10. Теорема Вейерштрасса
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится (имеет предел).
11. Базовые пределы
Их всего 5, но они очень важны.
12. Число эйлера и его свойства
Само число Эйлера обозначается как e.
Оно равно пределу последовательности, которое доказывается через теорему Вейерштрасса.
Ниже перечислены основные свойства числа e. (которые мы успели пройти)
13. Продолжение...
Читайте дальше в следующей части.